微分積分例

$\int 3 x^{5} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

ステップ 1

$u = x^{3} + 1$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{3} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} \sqrt{u} d u$

ステップ 2

累乗根で指数を約分し簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ を $u - 1$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u - 1}$ を ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \sqrt{u} d u$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} \sqrt{u} d u$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

ステップ 2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

ステップ 2.1.4.2

式を書き換えます。

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} d u$

ステップ 2.1.5

簡約します。

$\int (u - 1) \sqrt{u} d u$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$(u - 1) u^{\frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x^{3} + 1$ で置き換えます。

$\frac{2}{5} {(x^{3} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例