微分積分例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$\tan (u)$ の $u$ に関する積分は $\ln (| \sec (u) |)$ です。

$\ln (| \sec (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}$

ステップ 3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{π}{4}$ および $\frac{π}{6}$ で $\ln (| \sec (u) |)$ の値を求めます。

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

ステップ 3.2.2

$\sec (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ です。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} |)$

ステップ 3.2.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.2.6.5

指数を求めます。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ は約 $1.41421356$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.2.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.2.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |})$

ステップ 3.3.2.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |})$

ステップ 3.3.2.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |})$

ステップ 3.3.2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |})$

ステップ 3.3.2.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |})$

ステップ 3.3.2.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |})$

ステップ 3.3.2.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

ステップ 3.3.2.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

ステップ 3.3.2.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} |})$

ステップ 3.3.2.2.6.5

指数を求めます。

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |})$

ステップ 3.3.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ は約 $1.15470053$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

ステップ 3.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (\sqrt{2} \frac{3}{2 \sqrt{3}})$

ステップ 3.3.4

$\sqrt{2}$ と $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ をまとめます。

$\ln (\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2 \sqrt{3}})$

ステップ 3.3.5

$3$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}})$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 4.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}})$

ステップ 4.2.2

$\sqrt{3}$ を移動させます。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})})$

ステップ 4.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})$

ステップ 4.2.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})$

ステップ 4.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

ステップ 4.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}})$

ステップ 4.2.7

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 4.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 4.2.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 4.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 4.2.7.4.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}})$

ステップ 4.2.7.5

指数を求めます。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

ステップ 4.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\ln (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2})$

ステップ 4.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

10進法形式：

$0.20273255 \dots$

微分積分 例

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