微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 1

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 1.2

$u = \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4

$u = \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} - u d u$

ステップ 2

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} u d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$- (\frac{1}{2} u^{2}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ および $\frac{\sqrt{2}}{2}$ で $\frac{1}{2} u^{2}$ の値を求めます。

$- ((\frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 5

指数を足して $\frac{1}{2}$ に ${(\frac{1}{2})}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ に ${(\frac{1}{2})}^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{2}$ を $1$ 乗します。

$- ({(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- ({(\frac{1}{2})}^{1 + 2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

10進法形式：

$0.125$

微分積分 例

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