微分積分例

$\int 3 t^{2} {(2 t^{3} + 8)}^{- 1} d t$

ステップ 1

$u = 2 t^{3} + 8$ とします。次に $d u = 6 t^{2} d t$ すると、 $\frac{1}{6} d u = t^{2} d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 t^{3} + 8$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 t^{3} + 8$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t^{3} + 8]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 t^{3} + 8$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [8]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [8]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$8$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$6 t^{2} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$6 t^{2}$ と $0$ をたし算します。

$6 t^{2}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 3 u^{- 1} \frac{1}{6} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{6}$ と $3$ をまとめます。

$\int \frac{3}{6} u^{- 1} d u$

ステップ 2.2

$\frac{3}{6}$ と $u^{- 1}$ をまとめます。

$\int \frac{3 u^{- 1}}{6} d u$

ステップ 2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 1}$ を分母に移動させます。

$\int \frac{3}{6 u} d u$

ステップ 2.4

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (1)}{6 u} d u$

ステップ 2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1

$3$ を $6 u$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (1)}{3 (2 u)} d u$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 \cdot 1}{3 (2 u)} d u$

ステップ 2.4.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $2 t^{3} + 8$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 t^{3} + 8 |) + C$

微分積分 例

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