微分積分例

$\int_{2}^{3} \frac{x}{{(x^{2} - 3)}^{2}} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} - 3$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} - 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = x^{2} - 3$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2^{2} - 3$

ステップ 1.3

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ステップ 1.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = 4 - 3$

ステップ 1.3.2

$4$ から $3$ を引きます。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = x^{2} - 3$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3^{2} - 3$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$3$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 9 - 3$

ステップ 1.5.2

$9$ から $3$ を引きます。

$u_{upper} = 6$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 6$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$\int_{1}^{6} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{- 2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$\frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{6}$

ステップ 6

$6$ および $1$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((- 6^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1^{- 1})$

ステップ 8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1)$

ステップ 9

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ステップ 9.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

ステップ 9.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 6}{6}$

ステップ 9.3

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}$

ステップ 10

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{5}{6}$ をかけます。

$\frac{5}{2 \cdot 6}$

ステップ 10.2

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{5}{12}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5}{12}$

10進法形式：

$0.41\overline{6}$

微分積分 例

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