微分積分例

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 2 \sec (t)$ とします。次に $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

積の法則を $2 \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.2

$4$ を $4 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.4

$4$ を $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.6

$4 \tan^{2} (t)$ を ${(2 \tan (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.2

$2 \sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$2 \sec (t)$ を $2 \sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

ステップ 4

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

ステップ 5

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

ステップ 8

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

ステップ 9

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 12

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

ステップ 13

簡約します。

$2 (- t + \tan (t)) + C$

ステップ 14

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

交点 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arcsec (\frac{x}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ は $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ です。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

ステップ 15.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

ステップ 15.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{x}{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

ステップ 15.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

ステップ 15.1.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

ステップ 15.1.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

ステップ 15.1.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

ステップ 15.1.8

公分母の分子をまとめます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

ステップ 15.1.9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

ステップ 15.1.10

$\frac{x + 2}{2}$ に $\frac{x - 2}{2}$ をかけます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

ステップ 15.1.11

$2$ に $2$ をかけます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

ステップ 15.1.12

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ に書き換えます。

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ステップ 15.1.12.1

$(x + 2) (x - 2)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

ステップ 15.1.12.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

ステップ 15.1.12.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

ステップ 15.1.13

累乗根の下から項を取り出します。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

ステップ 15.1.14

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ をまとめます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

ステップ 15.2

$- arcsec (\frac{x}{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

ステップ 15.3

$- arcsec (\frac{x}{2})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

ステップ 15.4

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

ステップ 15.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.5.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

ステップ 15.5.2

式を書き換えます。

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

ステップ 15.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

微分積分 例

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