微分積分例

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (x^{2} + 3 x + 7) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5

$(x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.4

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.5

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.6

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.7

分子を簡約します。

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ステップ 5.7.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.7.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.8

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{1 - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.10

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.11

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.12

$2$ から $1$ を引きます。

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.13

$x^{\frac{3}{2}}$ と $3 x^{\frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.14

$x^{\frac{3}{2}}$ を移動させます。

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5.15

$3 x^{\frac{1}{2}}$ と $7 x^{- \frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 7

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$7 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 12.2

簡約します。

$14 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例