微分積分例

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

ステップ 1

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

ステップ 2

${(u - 1)}^{2} u^{3}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(u - 1)}^{2}$ を $(u - 1) (u - 1)$ に書き換えます。

$\int (u - 1) (u - 1) u^{3} d u$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

ステップ 2.4

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

ステップ 2.5

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

ステップ 2.6

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

ステップ 2.7

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.8

$u$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int u \cdot u \cdot u^{3} - 1 \cdot u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.9

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.10

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + 1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{2} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{2 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.14

$2$ と $3$ をたし算します。

$\int u^{5} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.15

負をくくり出します。

$\int u^{5} - (u \cdot u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.16

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{5} - (u^{1} u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{5} - u^{1 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.18

$1$ と $3$ をたし算します。

$\int u^{5} - u^{4} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.19

負をくくり出します。

$\int u^{5} - u^{4} - (u \cdot u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.20

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{5} - u^{4} - (u^{1} u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{5} - u^{4} - u^{1 + 3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.22

$1$ と $3$ をたし算します。

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

ステップ 2.23

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{3} d u$

ステップ 2.24

$u^{3}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + u^{3} d u$

ステップ 2.25

$- u^{4}$ から $u^{4}$ を引きます。

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{5}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{6} u^{6}$ です。

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

ステップ 5

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{3} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{3} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{5}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} {(x + 1)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{5} + \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$

微分積分 例

微分積分例