微分積分例

$\int (x^{2} + 2) {(x + 1)}^{42} d x$

ステップ 1

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int ({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42} d u$

ステップ 2

$({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(u - 1)}^{2}$ を $(u - 1) (u - 1)$ に書き換えます。

$\int ((u - 1) (u - 1) + 2) u^{42} d u$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

ステップ 2.4

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 + 2) u^{42} d u$

ステップ 2.5

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.6

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.7

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.8

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.9

$u$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int u \cdot u \cdot u^{42} - 1 \cdot u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.10

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.11

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + 1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{2} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{2 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.15

$2$ と $42$ をたし算します。

$\int u^{44} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.16

負をくくり出します。

$\int u^{44} - (u \cdot u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.17

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{44} - (u^{1} u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{44} - u^{1 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.19

$1$ と $42$ をたし算します。

$\int u^{44} - u^{43} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.20

負をくくり出します。

$\int u^{44} - u^{43} - (u \cdot u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.21

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{44} - u^{43} - (u^{1} u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{44} - u^{43} - u^{1 + 42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.23

$1$ と $42$ をたし算します。

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.24

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.25

$u^{42}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.26

$- u^{43}$ から $u^{43}$ を引きます。

$\int u^{44} - 2 u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

ステップ 2.27

$u^{42}$ と $2 u^{42}$ をたし算します。

$\int u^{44} - 2 u^{43} + 3 u^{42} d u$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{44} d u + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{44}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{45} u^{45}$ です。

$\frac{1}{45} u^{45} + C + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

ステップ 5

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 \int u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{43}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{44} u^{44}$ です。

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + \int 3 u^{42} d u$

ステップ 7

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 \int u^{42} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{42}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{43} u^{43}$ です。

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 (\frac{1}{43} u^{43} + C)$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{u^{45}}{45} - \frac{u^{44}}{22} + 3 (\frac{1}{43} u^{43}) + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + 3 (\frac{1}{43}) u^{43} + C$

ステップ 11

$3$ と $\frac{1}{43}$ をまとめます。

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + \frac{3}{43} u^{43} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{45} {(x + 1)}^{45} - \frac{1}{22} {(x + 1)}^{44} + \frac{3}{43} {(x + 1)}^{43} + C$

微分積分 例

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