微分積分例

$\int x {(x + 1)}^{3} d x$

ステップ 1

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (u - 1) u^{3} d u$

ステップ 2

$(u - 1) u^{3}$ を掛けます。

$\int u \cdot u^{3} - 1 u^{3} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

指数を足して $u$ に $u^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$u$ に $u^{3}$ をかけます。

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ステップ 3.1.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{3} - 1 u^{3} d u$

ステップ 3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + 3} - 1 u^{3} d u$

ステップ 3.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\int u^{4} - 1 u^{3} d u$

ステップ 3.2

$- 1 u^{3}$ を $- u^{3}$ に書き換えます。

$\int u^{4} - u^{3} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{4} d u + \int - u^{3} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - u^{3} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} u^{5} + C - \int u^{3} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + C - (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

ステップ 8

簡約します。

$\frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{4} u^{4} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$

微分積分 例

微分積分例