微分積分例

$\int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = a^{2} - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = a^{2} - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$a^{2} - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $a^{2} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$a^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 1.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 1.2

$u = a^{2} - x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = a^{2} - 0$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = a^{2} + 0$

ステップ 1.3.2

$a^{2}$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = a^{2}$

ステップ 1.4

$u = a^{2} - x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

ステップ 1.5

$a^{2}$ から $a^{2}$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 2.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$0$ および $a^{2}$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.3

式を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$\frac{2}{3}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.3.2

${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 7.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 7.3.2.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

ステップ 7.3.3

$0$ から $\frac{2}{3} a^{3}$ を引きます。

$- \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} a^{3})$

ステップ 7.4

簡約します。

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ステップ 7.4.1

$a^{3}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

ステップ 7.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

ステップ 7.4.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

ステップ 7.4.4

$\frac{1}{2}$ に $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ をかけます。

$\frac{a^{3} \cdot 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.4.5

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{a^{3} \cdot 2}{6}$

ステップ 7.4.6

$2$ を $a^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot a^{3}}{6}$

ステップ 7.4.7

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.7.1

$2$ を $2 a^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (a^{3})}{6}$

ステップ 7.4.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.7.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.4.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.4.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{a^{3}}{3}$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} a^{3}$

微分積分 例

微分積分例