微分積分例

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sec (t)$ とします。次に $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t)}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.2

$\sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$\sec (t)$ を $\sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) (\tan (t))) d t$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\int \tan (t) \tan (t) d t$

ステップ 4

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) d t$

ステップ 5

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) d t$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \tan^{2} (t) d t$

ステップ 8

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 11

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$- t + C + \tan (t) + C$

ステップ 12

簡約します。

$- t + \tan (t) + C$

ステップ 13

$t$ のすべての発生を $arcsec (x)$ で置き換えます。

$- arcsec (x) + \tan (arcsec (x)) + C$

微分積分 例

微分積分例