微分積分例

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

ステップ 1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} d x$

ステップ 1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.3

多項式を書き換えます。

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} d x$

ステップ 1.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\int \frac{16}{{(x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{16}{u^{2}} d u$

ステップ 3

$16$ は $u$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$16 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$16 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$16 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$16 \int u^{- 2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$16 (- u^{- 1} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$16 (- u^{- 1} + C)$ を $16 (- \frac{1}{u}) + C$ に書き換えます。

$16 (- \frac{1}{u}) + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ に $16$ をかけます。

$- 16 \frac{1}{u} + C$

ステップ 6.2.2

$- 16$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$\frac{- 16}{u} + C$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16}{u} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$- \frac{16}{x + 1} + C$

微分積分 例

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