微分積分例

$\int \ln (\sqrt{x}) d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \ln (x^{\frac{1}{2}}) d x$

ステップ 3

$\ln (x^{\frac{1}{2}})$ を $\frac{1}{2} \ln (x)$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{2} \ln (x) d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \ln (x) d x$

ステップ 5

$u = \ln (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

ステップ 6.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int d x)$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - (x + C))$

ステップ 8

簡約します。

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - x) + C$

微分積分 例