微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (θ)}{\sqrt{1 + \sin (θ)}} d θ$

ステップ 1

$u = 1 + \sin (θ)$ とします。次に $d u = \cos (θ) d θ$ すると、 $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = 1 + \sin (θ)$ とします。 $\frac{d u}{d θ}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$1 + \sin (θ)$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [1 + \sin (θ)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + \sin (θ)$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ です。

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $θ$ について定数なので、 $θ$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 1.1.3

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$0 + \cos (θ)$

ステップ 1.1.4

$0$ と $\cos (θ)$ をたし算します。

$\cos (θ)$

ステップ 1.2

$u = 1 + \sin (θ)$ の $θ$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 + \sin (θ)$ の $θ$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 1.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

ステップ 4

$2$ および $1$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5

指数を足して $2$ に $2^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ に $2^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6

1のすべての数の累乗は1です。

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

ステップ 7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

10進法形式：

$0.82842712 \dots$

微分積分 例

微分積分例