微分積分例

$\int \frac{x + 3}{{(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 1

$u = 3 x - 4$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 x - 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x - 4]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $3 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.2

$3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 9}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.4.2

$4$ と $9$ をたし算します。

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.5

$\frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\int \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.6

まとめる。

$\int \frac{3 (\frac{u}{3} + \frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.7

分配則を当てはめます。

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.8

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.8.2

式を書き換えます。

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.9

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.9.2

式を書き換えます。

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.10

$\frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}} \cdot 3} d u$

ステップ 2.11

$3$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{u + 13}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{9}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \int \frac{u + 13}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \int (u + 13) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

ステップ 4.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

ステップ 4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5

$(u + 13) u^{- \frac{3}{2}}$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{9} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{9} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{9} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5.6

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5.7

$u^{\frac{- 1}{2}}$ と $13 u^{- \frac{3}{2}}$ を並べ替えます。

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{9} (\int 13 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 8

$13$ は $u$ に対して定数なので、 $13$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} (13 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{- \frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $3 x - 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 13.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3

分子を簡約します。

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ステップ 13.3.1

指数を足して ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 13.3.1.1

${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 ({(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{1}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.2

$2 {(3 x - 4)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x - 4)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.5

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x - 8}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.6

$- 26$ から $8$ を引きます。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{6 x - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.7

$2$ を $6 x - 34$ で因数分解します。

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ステップ 13.3.7.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.7.2

$2$ を $- 34$ で因数分解します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) + 2 (- 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.7.3

$2$ を $2 (3 x) + 2 (- 17)$ で因数分解します。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x - 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.4

まとめる。

$\frac{1 (2 (3 x - 17))}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (3 x - 17)}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例

微分積分例