微分積分例

$\int \frac{2 x^{3} - 2}{(x^{4} - 4 x)} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$2$ を $2 x^{3} - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{3}) - 2}{x^{4} - 4 x}$

ステップ 1.1.1.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{4} - 4 x}$

ステップ 1.1.1.1.3

$2$ を $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{3} - 1)}{x^{4} - 4 x}$

ステップ 1.1.1.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{2 (x^{3} - 1^{3})}{x^{4} - 4 x}$

ステップ 1.1.1.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

ステップ 1.1.1.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

ステップ 1.1.1.4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{4} - 4 x}$

ステップ 1.1.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{4} - 4 x}$

ステップ 1.1.1.5

$x$ を $x^{4} - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} - 4 x}$

ステップ 1.1.1.5.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} + x \cdot - 4}$

ステップ 1.1.1.5.3

$x$ を $x \cdot x^{3} + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} - 4)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は3次なので、 $3$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x^{3} - 4)$ です。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.4.1.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.4.2

$x^{3} - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.4.2.2

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ を $1$ で割ります。

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.4.3

分配則を当てはめます。

$(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.4.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(2 x - 2) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.5

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x - 2) (x^{2} + x + 1)$ を展開します。

$2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1.2.1

$x$ を移動させます。

$2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6.2

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.1

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$2 x^{3} + 2 x + 0 - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6.2.2

$2 x^{3} + 2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x^{3} + 2 x - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6.2.3

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$2 x^{3} + 0 - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.6.2.4

$2 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.7.1.2

$A (x^{3} - 4)$ を $1$ で割ります。

$2 x^{3} - 2 = A (x^{3} - 4) + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + A \cdot - 4 + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.7.3

$- 4$ を $A$ の左に移動させます。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 \cdot A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.7.4

$x^{3} - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.1.7.4.2

$(B x^{2} + C x + D) (x)$ を $1$ で割ります。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + (B x^{2} + C x + D) (x)$

ステップ 1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{2} x + C x \cdot x + D x$

ステップ 1.1.7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.6.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.6.1.1

$x$ を移動させます。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

ステップ 1.1.7.6.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.6.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

ステップ 1.1.7.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{1 + 2} + C x \cdot x + D x$

ステップ 1.1.7.6.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x \cdot x + D x$

ステップ 1.1.7.6.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.6.2.1

$x$ を移動させます。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C (x \cdot x) + D x$

ステップ 1.1.7.6.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x^{2} + D x$

ステップ 1.1.8

$- 4 A$ を移動させます。

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + B x^{3} + C x^{2} + D x - 4 A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{3}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = D$

ステップ 1.2.4

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 2 = - 4 A$

ステップ 1.2.5

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$2 = A + B$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

ステップ 1.3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

方程式を $D = 0$ として書き換えます。

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 2 = - 4 A$

ステップ 1.3.2.2

方程式を $- 4 A = - 2$ として書き換えます。

$- 4 A = - 2$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2.3

$- 4 A = - 2$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.1

$- 4 A = - 2$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2.3.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.3.1

$- 2$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.3.1.1

$- 2$ を $- 2$ で因数分解します。

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.3.1.2.1

$- 2$ を $- 4$ で因数分解します。

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$2 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$2 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

括弧を削除します。

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.4

$2 = \frac{1}{2} + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

方程式を $\frac{1}{2} + B = 2$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} + B = 2$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$B = 2 - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$B = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.2.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$B = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$B = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$B = \frac{4 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.2.5.2

$4$ から $1$ を引きます。

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

ステップ 1.3.5

連立方程式を解きます。

$B = \frac{3}{2} A = \frac{1}{2} D = 0 C = 0$

ステップ 1.3.6

すべての解をまとめます。

$B = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}, D = 0, C = 0$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、および $D$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2 x^{2}} + 0 x + 0}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.1.2

$x$ を $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.1.2.1

$x$ を $\frac{3}{2} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.1.2.2

$x$ を $0 \cdot x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.1.2.3

$x$ を $x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0$ で因数分解します。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x + 0)}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.1.3

$\frac{3}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2} + 0)}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.1.4

$\frac{3 x}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2})}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.2

$x$ と $\frac{3 x}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{x (3 x)}{2}}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{1 + 1}}{2}}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3} - 4}$

ステップ 1.5.5

$\frac{3 x^{2}}{2}$ に $\frac{1}{x^{3} - 4}$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

ステップ 1.5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

ステップ 1.5.7

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

ステップ 5

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 4} d x$

ステップ 6

$u = x^{3} - 4$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = x^{3} - 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$x^{3} - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x^{3} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 6.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 6.1.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 6.1.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

ステップ 7.2

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.3

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{3} - 4 |) + C$

微分積分 例

微分積分例