微分積分例

$\int (x + 2) \sqrt{x - 2} d x$

ステップ 1

$u = x - 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (u + 2 + 2) \sqrt{u} d u$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int (u + 4) \sqrt{u} d u$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int (u + 4) u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$(u + 4) u^{\frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{\frac{3}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.7

$u^{\frac{3}{2}}$ と $4 u^{\frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$\int 4 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 5

$4$ は $u$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{2}{3}$ と $u^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

$\frac{8 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$\frac{8}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\frac{8}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 2)}^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例