微分積分例

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{u - 1}}^{2}$ を $u - 1$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u - 1}$ を ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.5

簡約します。

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.2

$\frac{u - 1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

ステップ 4

$u - 1$ を $u$ で割ります。

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ステップ 4.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$u$

$0$

$u$

$1$

ステップ 4.2

被除数 $u$ の最高次項を除数 $u$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

ステップ 4.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

ステップ 4.4

式は被除数から引く必要があるので、 $u + 0$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

ステップ 4.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

ステップ 4.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

ステップ 11.2.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

ステップ 11.2.3

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| x^{2} + 1 |)$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

ステップ 11.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$

微分積分 例

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