微分積分例

$\int 5 x \sqrt{2 x + 3} d x$

ステップ 1

$u = 2 x + 3$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 5 (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

簡約します。

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ステップ 2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $5$ をまとめます。

$\int \frac{5}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \sqrt{u} d u$

ステップ 2.1.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 5}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

ステップ 2.1.3

$5$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{3}{2}) d u$

ステップ 3.2

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

ステップ 3.3

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ に $\frac{u}{2}$ をかけます。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

ステップ 3.4

$u$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

ステップ 3.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

ステップ 3.8

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

ステップ 3.9

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

ステップ 3.10

$- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 3}{2} d u$

ステップ 3.11

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2}}{2} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2} d u$

ステップ 4.2

$- 1 \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ を $- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2} d u$

ステップ 4.3

$\frac{- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2}$ を積として書き換えます。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 4.4

$\frac{1}{2}$ に $\frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

ステップ 4.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

ステップ 6

$\frac{5}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{5}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

ステップ 9

$\frac{15}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{15}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{15}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{15}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.2

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ を $\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{15}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 15}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3.2

$2$ に $15$ をかけます。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{30}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{30}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3.4

$30$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.4.1

$6$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 (5)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.4.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $2 x + 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} {(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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