微分積分例

$\int_{- 2}^{4} x^{2} {(x^{3} + 8)}^{2} d x$

ステップ 1

$u = x^{3} + 8$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{3} + 8$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3} + 8$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{3} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.4

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2

$u = x^{3} + 8$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = {(- 2)}^{3} + 8$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$u_{lower} = - 8 + 8$

ステップ 1.3.2

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = x^{3} + 8$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4^{3} + 8$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$4$ を $3$ 乗します。

$u_{upper} = 64 + 8$

ステップ 1.5.2

$64$ と $8$ をたし算します。

$u_{upper} = 72$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 72$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{72} u^{2} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$u^{2}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{0}^{72} \frac{u^{2}}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{72} u^{2} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{72}$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$72$ および $0$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 72^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 5.2

$72$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 373248 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\frac{1}{3}$ と $373248$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{373248}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 5.3.2

$373248$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ を $373248$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{124416}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 5.3.2.2.4

$124416$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 5.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (124416 + 0 (\frac{1}{3}))$

ステップ 5.5.2

$0$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3} (124416 + 0)$

ステップ 5.6

$124416$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot 124416$

ステップ 5.7

簡約します。

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ステップ 5.7.1

$\frac{1}{3}$ と $124416$ をまとめます。

$\frac{124416}{3}$

ステップ 5.7.2

$124416$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1

$3$ を $124416$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 41472}{3}$

ステップ 5.7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 41472}{3 (1)}$

ステップ 5.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 41472}{3 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{41472}{1}$

ステップ 5.7.2.2.4

$41472$ を $1$ で割ります。

$41472$

微分積分 例

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