微分積分例

$\frac{2}{3} \int \sqrt{4 - \frac{3}{5} x} d x$

ステップ 1

$u = 4 - \frac{3}{5} x$ とします。次に $d u = - \frac{3}{5} d x$ すると、 $- \frac{5}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 - \frac{3}{5} x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 - \frac{3}{5} x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 - \frac{3}{5} x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $4 - \frac{3}{5} x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

ステップ 1.1.2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- \frac{3}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{5} x$ の微分係数は $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - \frac{3}{5} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - \frac{3}{5}$

ステップ 1.1.4

$0$ から $\frac{3}{5}$ を引きます。

$- \frac{3}{5}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{- 1}{- \frac{3}{5}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{1}{\frac{3}{5}} d u$

ステップ 2.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{3}{5}$ で割ります。

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} (1 (\frac{5}{3})) d u$

ステップ 2.3

$\frac{5}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{5}{3} d u$

ステップ 2.4

$\frac{5}{3}$ と $\sqrt{u}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \int - \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} (- \int \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u)$

ステップ 4

$\frac{5}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{5}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} (- (\frac{5}{3} \int \sqrt{u} d u))$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{5}{3}$ をかけます。

$- \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2

$2$ に $5$ をかけます。

$- \frac{10}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{10}{9} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{10}{9} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2

$- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ を $- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $4 - \frac{3}{5} x$ で置き換えます。

$- \frac{20}{27} {(4 - \frac{3}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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