微分積分例

$\int 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2} d x$

ステップ 1

$u = x^{3} + 2$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{3} + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3} + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{3} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{3} + 2$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(x^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例