微分積分例

$\int e^{x} \sqrt{1 - e^{x}} d x$

ステップ 1

$u = 1 - e^{x}$ とします。次に $d u = - e^{x} d x$ すると、 $- \frac{1}{e^{x}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - e^{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - e^{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 - e^{x}$

ステップ 1.1.4

$0$ から $e^{x}$ を引きます。

$- e^{x}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \sqrt{u} d u$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 5

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $1 - e^{x}$ で置き換えます。

$- \frac{2}{3} {(1 - e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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