微分積分例

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = \ln (x)$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{u_{1}}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$e^{u_{1}}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int u_{1} {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

ステップ 2.2

${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u_{1} e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int u_{1} e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

ステップ 2.2.3

$- 1 u_{1}$ を $- u_{1}$ に書き換えます。

$\int u_{1} e^{- u_{1}} d u_{1}$

ステップ 3

$u = u_{1}$ と $d v = e^{- u_{1}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - \int - e^{u_{2}} d u_{1}$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$ を $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ に書き換えます。

$- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$

ステップ 5.2

$- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ を $- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$ に書き換えます。

$- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- u_{1} e^{u_{2}}$ と $e^{u_{2}} u_{1}$ をたし算します。

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ステップ 5.3.1.1

$e^{u_{2}}$ と $u_{1}$ を並べ替えます。

$- u_{1} e^{u_{2}} + u_{1} e^{u_{2}} + C$

ステップ 5.3.1.2

$- u_{1} e^{u_{2}}$ と $u_{1} e^{u_{2}}$ をたし算します。

$0 + C$

ステップ 5.3.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$C$

微分積分 例

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