微分積分例

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

ステップ 1

$u_{1} = 2 x + 1$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{6 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 2

$6$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 3

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ すると、 $2 d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $\frac{u_{1}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$- \frac{1}{2}$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $- \frac{1}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} + 0$

ステップ 3.1.4.2

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2}$

ステップ 3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} (1 \cdot 2) d u_{2}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot 2 d u_{2}$

ステップ 4.3

$\frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1}$ と $2$ をまとめます。

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2} \cdot 2}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 4.4

$2$ を ${u_{2}}^{2}$ の左に移動させます。

$6 \int \frac{2 {u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 5

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$6 (2 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

ステップ 6

$2$ に $6$ をかけます。

$12 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 7

${u_{2}}^{2}$ を $2 u_{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 7.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 u_{2}$

$1$

${u_{2}}^{2}$

$0 u_{2}$

$0$

ステップ 7.2

被除数 ${u_{2}}^{2}$ の最高次項を除数 $2 u_{2}$ の最高次項で割ります。

					$\frac{u_{2}}{2}$
	$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$

ステップ 7.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			+	${u_{2}}^{2}$	+	$\frac{u_{2}}{2}$

ステップ 7.4

式は被除数から引く必要があるので、 $u^{2} + \frac{u}{2}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$

ステップ 7.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$

ステップ 7.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

ステップ 7.7

被除数 $- \frac{u_{2}}{2}$ の最高次項を除数 $2 u_{2}$ の最高次項で割ります。

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

ステップ 7.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

ステップ 7.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

ステップ 7.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

ステップ 7.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$12 \int \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2}$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$12 (\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

ステップ 10

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と ${u_{2}}^{2}$ をまとめます。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

ステップ 12.2

$u_{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

ステップ 13

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

ステップ 14

$u_{3} = 2 u_{2} + 1$ とします。次に $d u_{3} = 2 d u_{2}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$u_{3} = 2 u_{2} + 1$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ を求めます。

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ステップ 14.1.1

$2 u_{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

ステップ 14.1.2

総和則では、 $2 u_{2} + 1$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ です。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

ステップ 14.1.3

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 14.1.3.1

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $u_{2}$ に対する $2 u_{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

ステップ 14.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

ステップ 14.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

ステップ 14.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 14.1.4.1

$1$ は $u_{2}$ について定数なので、 $u_{2}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 14.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 14.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{u_{3}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3})$

ステップ 15.2

$2$ を $u_{3}$ の左に移動させます。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3})$

ステップ 16

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

ステップ 17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 17.2

$2$ に $4$ をかけます。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 18

$\frac{1}{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\ln (| u_{3} |)$ です。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u_{3} |) + C))$

ステップ 19

簡約します。

$12 (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - \frac{u_{2}}{4} + \frac{\ln (| u_{3} |)}{8}) + C$

ステップ 20

項を並べ替えます。

$12 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} - \frac{1}{4} u_{2} + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

ステップ 21

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 21.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ で置き換えます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

ステップ 21.2

$u_{3}$ のすべての発生を $2 u_{2} + 1$ で置き換えます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

ステップ 21.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

ステップ 21.4

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ で置き換えます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 21.5

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22

簡約します。

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ステップ 22.1

公分母の分子をまとめます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 1 - 1}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22.2

$2 x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 22.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 0}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 22.3.1

$- \frac{1}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22.3.3

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 (x)}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22.3.4

共通因数を約分します。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22.3.5

式を書き換えます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22.4

$\frac{- 1}{2}$ に $\frac{x}{2}$ をかけます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{2 \cdot 2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22.5

$2$ に $2$ をかけます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22.6

分数の前に負数を移動させます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

ステップ 22.7

公分母の分子をまとめます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 1 - 1}{2} + 1 |)) + C$

ステップ 22.8

$2 x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 22.8.1

$1$ から $1$ を引きます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 0}{2} + 1 |)) + C$

ステップ 22.8.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

ステップ 22.9

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 22.9.1

共通因数を約分します。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

ステップ 22.9.2

式を書き換えます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

ステップ 22.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.10.1

公分母の分子をまとめます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1 - 1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

ステップ 22.10.2

$2 x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.10.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

ステップ 22.10.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

ステップ 22.10.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.10.3.1

共通因数を約分します。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

ステップ 22.10.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$12 (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

ステップ 22.10.4

$\frac{1}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

ステップ 22.10.5

$\frac{1}{8}$ と $\ln (| 2 x + 1 |)$ をまとめます。

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

ステップ 22.11

$\frac{x^{2}}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

ステップ 22.12

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.12.1

$\frac{x^{2}}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

ステップ 22.12.2

$4$ に $2$ をかけます。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

ステップ 22.13

公分母の分子をまとめます。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

ステップ 22.14

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

ステップ 22.15

分配則を当てはめます。

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

ステップ 22.16

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.16.1

$- \frac{x}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

ステップ 22.16.2

$4$ を $12$ で因数分解します。

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

ステップ 22.16.3

共通因数を約分します。

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

ステップ 22.16.4

式を書き換えます。

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

ステップ 22.17

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

ステップ 22.18

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.18.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

ステップ 22.18.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 22.18.3

共通因数を約分します。

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 22.18.4

式を書き換えます。

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 22.19

$3$ と $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ をまとめます。

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 22.20

$- 3 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 22.21

$- 3 x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 22.22

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 22.23

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.23.1

$3$ を $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.23.1.1

$3$ を $- 3 x \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 22.23.1.2

$3$ を $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 22.23.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 22.24

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 22.25

$- 1$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 22.26

$- 1$ を $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 22.27

$- 1$ を $\ln (| 2 x + 1 |)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

ステップ 22.28

$- 1$ を $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

ステップ 22.29

$- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ を $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

ステップ 22.30

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 23

項を並べ替えます。

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

微分積分 例

微分積分例