微分積分例

$\int \frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x^{3} + 3 x}} d x$

ステップ 1

$u = x^{3} + 3 x$ とします。次に $d u = (3 x^{2} + 3) d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = (x^{2} + 1) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{3} + 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3} + 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{3} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 3$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

ステップ 2.2

$3$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 6.2

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ を $\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $x^{3} + 3 x$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(x^{3} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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