微分積分例

$\int (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) \sqrt{x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ とします。次に $d u = (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) d x$ すると、 $\frac{1}{4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{3}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 (2 x)$

ステップ 1.1.4.3

$2$ に $8$ をかけます。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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