微分積分例

$\int \sin (\ln (x)) d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

$\int e^{u} \sin (u) d u$

ステップ 3

$e^{u}$ と $\sin (u)$ を並べ替えます。

$\int \sin (u) e^{u} d u$

ステップ 4

$w = \sin (u)$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

ステップ 5

$e^{u}$ と $\cos (u)$ を並べ替えます。

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

ステップ 6

$w = \cos (u)$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

ステップ 8

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

ステップ 8.2

$\int e^{u} (\sin (u)) d u$ に $1$ をかけます。

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

ステップ 9

$\int e^{u} \sin (u) d u$ を解くと、 $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ であることが分かります。

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

ステップ 10

$\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ を $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

ステップ 12.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

ステップ 12.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

ステップ 12.4

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ を掛けます。

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ステップ 12.4.1

$\sin (\ln (x))$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

ステップ 12.4.2

$\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

ステップ 12.5

$\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

$\frac{1}{2}$ と $\cos (\ln (x))$ をまとめます。

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

ステップ 12.5.2

$x$ と $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

ステップ 12.6

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

ステップ 13

括弧を削除します。

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$

微分積分 例

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