微分積分例

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{u - 1}}^{2}$ を $u - 1$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u - 1}$ を ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.5

簡約します。

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.2

$\frac{u - 1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

ステップ 2.3

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

$(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 10.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{2}{3}$ と ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 12.2

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 12.3

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

ステップ 12.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

ステップ 12.5

分子を簡約します。

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ステップ 12.5.1

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ で因数分解します。

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ステップ 12.5.1.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

ステップ 12.5.1.2

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

ステップ 12.5.1.3

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $- 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

ステップ 12.5.1.4

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

ステップ 12.5.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

ステップ 12.5.3

各項を簡約します。

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ステップ 12.5.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

ステップ 12.5.3.2

簡約します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1 - 3)}{3} + C$

ステップ 12.5.4

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2)}{3} + C$

ステップ 12.6

まとめる。

$\frac{1 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{2 \cdot 3} + C$

ステップ 12.7

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{2 \cdot 3} + C$

ステップ 12.8

式を書き換えます。

$\frac{1 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{3} + C$

ステップ 12.9

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2)}{3} + C$

微分積分 例

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