微分積分例

$\int \frac{\sin (x)}{{(4 - \cos (x))}^{3}} d x$

ステップ 1

$u = 4 - \cos (x)$ とします。次に $d u = \sin (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 - \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 - \cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 - \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $4 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - - \sin (x)$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 \sin (x)$

ステップ 1.1.3.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$0 + \sin (x)$

ステップ 1.1.4

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\sin (x)$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$u^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{3})}^{- 1} d u$

ステップ 2.2

${(u^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{3 \cdot - 1} d u$

ステップ 2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{- 3} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{- 3}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ です。

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

ステップ 4.2.2

$2$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

ステップ 5

$u$ のすべての発生を $4 - \cos (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 {(4 - \cos (x))}^{2}} + C$

微分積分 例

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