微分積分例

$\int e^{x} \cos (x) d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$e^{x}$ と $\cos (x)$ を並べ替えます。

$\int \cos (x) e^{x} d x$

ステップ 3

$u = \cos (x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

ステップ 5.2

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

ステップ 5.3

$e^{x}$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

ステップ 6

$u = \sin (x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

ステップ 7

$\int e^{x} \cos (x) d x$ を解くと、 $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ であることが分かります。

$\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C$

ステップ 8

$\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C$ を $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C$

微分積分 例