微分積分例

$\int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

ステップ 1

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u$

ステップ 2

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 2.1

${(u - 1)}^{2}$ を $(u - 1) (u - 1)$ に書き換えます。

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u$

ステップ 2.4

分配則を当てはめます。

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

ステップ 2.5

$u$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

ステップ 3

$u$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

ステップ 4

$u$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

ステップ 6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u$

ステップ 7

$- 1 u$ から $1 u$ を引きます。

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u$

ステップ 8

$u^{2} - 2 u + 1$ を $u$ で割ります。

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ステップ 8.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

ステップ 8.2

被除数 $u^{2}$ の最高次項を除数 $u$ の最高次項で割ります。

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

ステップ 8.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

ステップ 8.4

式は被除数から引く必要があるので、 $u^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

ステップ 8.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

ステップ 8.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

ステップ 8.7

被除数 $- 2 u$ の最高次項を除数 $u$ の最高次項で割ります。

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

ステップ 8.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

ステップ 8.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 u + 0$ の符号をすべて変更します。

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

ステップ 8.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

ステップ 8.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 10

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 12

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 2 (x + 1) + \ln (| x + 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例