微分積分例

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 1

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{u - 1}{u} d u$

ステップ 2

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 4.1.2

式を書き換えます。

$\int d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int d u + \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$u + C + \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$u + C - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$u + C - (\ln (| u |) + C)$

ステップ 8

簡約します。

$u - \ln (| u |) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$x + 1 - \ln (| x + 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例