微分積分例

$π \int_{0}^{2} {(3 x^{2} + 2)}^{2} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ を $(3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2)$ に書き換えます。

$π \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2) d x$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2} + 2) + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

ステップ 2.4

分配則を当てはめます。

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

ステップ 2.5

$x^{2}$ を移動させます。

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

ステップ 2.6

$x^{2}$ を移動させます。

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

ステップ 2.7

$3$ に $3$ をかけます。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

ステップ 2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

ステップ 2.9

$2$ と $2$ をたし算します。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

ステップ 2.10

$3$ に $2$ をかけます。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

ステップ 2.11

$2$ に $3$ をかけます。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

ステップ 2.12

$2$ に $2$ をかけます。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 4 d x$

ステップ 2.13

$6 x^{2}$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 12 x^{2} + 4 d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$π (\int_{0}^{2} 9 x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

ステップ 4

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$π (9 \int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$π (9 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

ステップ 7

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

ステップ 11

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$2$ および $0$ で $\frac{x^{5}}{5}$ の値を求めます。

$π (9 ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

ステップ 11.2

$2$ および $0$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 x]_{0}^{2})$

ステップ 11.3

$2$ および $0$ で $4 x$ の値を求めます。

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$2$ を $5$ 乗します。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.3

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.3.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.3.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.3.2.3

式を書き換えます。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$π (9 (\frac{32}{5} - 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$π (9 (\frac{32}{5} + 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.5

$\frac{32}{5}$ と $0$ をたし算します。

$π (9 (\frac{32}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.6

$9$ と $\frac{32}{5}$ をまとめます。

$π (\frac{9 \cdot 32}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.7

$9$ に $32$ をかけます。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.8

$2$ を $3$ 乗します。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.9

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.10

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.10.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.10.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.10.2.2

共通因数を約分します。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.10.2.3

式を書き換えます。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.10.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.11

$- 1$ に $0$ をかけます。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} + 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.12

$\frac{8}{3}$ と $0$ をたし算します。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.13

$12$ と $\frac{8}{3}$ をまとめます。

$π (\frac{288}{5} + \frac{12 \cdot 8}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.14

$12$ に $8$ をかけます。

$π (\frac{288}{5} + \frac{96}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.15

$96$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.15.1

$3$ を $96$ で因数分解します。

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.15.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.15.2.2

共通因数を約分します。

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.15.2.3

式を書き換えます。

$π (\frac{288}{5} + \frac{32}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.15.2.4

$32$ を $1$ で割ります。

$π (\frac{288}{5} + 32 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.16

$32$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$π (\frac{288}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.17

$32$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$π (\frac{288}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.18

公分母の分子をまとめます。

$π (\frac{288 + 32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.19

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.19.1

$32$ に $5$ をかけます。

$π (\frac{288 + 160}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.19.2

$288$ と $160$ をたし算します。

$π (\frac{448}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.20

$4$ に $2$ をかけます。

$π (\frac{448}{5} + 8 - 4 \cdot 0)$

ステップ 11.4.21

$- 4$ に $0$ をかけます。

$π (\frac{448}{5} + 8 + 0)$

ステップ 11.4.22

$8$ と $0$ をたし算します。

$π (\frac{448}{5} + 8)$

ステップ 11.4.23

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$π (\frac{448}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5})$

ステップ 11.4.24

$8$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$π (\frac{448}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5})$

ステップ 11.4.25

公分母の分子をまとめます。

$π \frac{448 + 8 \cdot 5}{5}$

ステップ 11.4.26

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.26.1

$8$ に $5$ をかけます。

$π \frac{448 + 40}{5}$

ステップ 11.4.26.2

$448$ と $40$ をたし算します。

$π \frac{488}{5}$

ステップ 11.4.27

$π$ と $\frac{488}{5}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 488}{5}$

ステップ 11.4.28

$488$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{488 π}{5}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{488 π}{5}$

10進法形式：

$306.61944299 \dots$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例