微分積分例

$\int 2 e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{7} d x$

ステップ 1

$u_{2} = e^{2 x} - 5$ とします。次に $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ すると、 $\frac{1}{2 e^{2 x}} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = e^{2 x} - 5$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$e^{2 x} - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 5]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $e^{2 x} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$2 e^{2 x} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2 e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$2 e^{2 x}$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{2}}^{7} d u_{2}$

ステップ 2

べき乗則では、 ${u_{2}}^{7}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{8} {u_{2}}^{8}$ です。

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{8} + C$

ステップ 3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{2 x} - 5$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} {(e^{2 x} - 5)}^{8} + C$

微分積分 例

微分積分例