微分積分例

$\int_{0}^{2} \frac{1}{1 + (\frac{x^{2}}{4})} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} d x$

ステップ 2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{4}} d x$

ステップ 2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\int_{0}^{2} 1 \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

$\frac{4}{4 + x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{2} \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$ です。

$4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2})$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $\arctan (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{0}^{2})$

ステップ 6.2

代入し簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ および $0$ で $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ の値を求めます。

$4 ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

ステップ 6.2.2

簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

ステップ 6.2.2.1.2

式を書き換えます。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 (0)}{2})}{2})$

ステップ 6.2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

ステップ 6.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

ステップ 6.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{2})$

ステップ 6.2.2.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (0)}{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{2}$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$4 \frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{2}$

ステップ 7.2.2

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 \frac{\frac{π}{4} - 0}{2}$

ステップ 7.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{\frac{π}{4} + 0}{2}$

ステップ 7.3

$\frac{π}{4}$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 7.4.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 7.4.3

式を書き換えます。

$2 \frac{π}{4}$

ステップ 7.5

$2$ と $\frac{π}{4}$ をまとめます。

$\frac{2 π}{4}$

ステップ 7.6

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (π)}{4}$

ステップ 7.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{2}$

10進法形式：

$1.57079632 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例