微分積分例

$\int \frac{x^{9}}{1 + x^{20}} d x$

ステップ 1

$x^{20}$ を ${(x^{10})}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{9}}{1 + {(x^{10})}^{2}} d x$

ステップ 2

$u = x^{10}$ とします。次に $d u = 10 x^{9} d x$ すると、 $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x^{10}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x^{10}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{10}]$

ステップ 2.1.2

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x^{9}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{10} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 + u^{2}}$ に $\frac{1}{10}$ をかけます。

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 10} d u$

ステップ 3.2

$10$ を $1 + u^{2}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{10 (1 + u^{2})} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{10}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{10}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

ステップ 5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ の $u$ に関する積分は $\arctan (u) + C$ です。

$\frac{1}{10} (\arctan (u) + C)$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{1}{10} \arctan (u) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x^{10}$ で置き換えます。

$\frac{1}{10} \arctan (x^{10}) + C$

微分積分 例