微分積分例

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 3 \sin (t)$ とします。次に $d x = 3 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

積の法則を $3 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.1.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.2

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.3

$9$ を $- 9 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.4

$9$ を $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ を ${(3 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3$ を $3 \sin (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.2

積の法則を $3 (\sin (t))$ に当てはめます。

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.4

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$3$ を $3 \cos (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1

$3$ を $9 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.5

$3$ と $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ をまとめます。

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 3.2.6

$\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ と $\cos (t)$ をまとめます。

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.7

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.8

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.11

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.11.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.11.2

式を書き換えます。

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.12

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ を $\cot^{2} (t)$ に変換します。

$\int \cot^{2} (t) d t$

ステップ 4

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cot^{2} (t)$ を $- 1 + \csc^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

ステップ 7

$- \cot (t)$ の微分係数が $\csc^{2} (t)$ なので、 $\csc^{2} (t)$ の積分は $- \cot (t)$ です。

$- t + C - \cot (t) + C$

ステップ 8

簡約します。

$- t - \cot (t) + C$

ステップ 9

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

微分積分 例

微分積分例