微分積分例

$\int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = 1 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 1.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ を $- u + 1$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- u + 1}$ を ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.1.4.2

式を書き換えます。

$\int {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.1.5

簡約します。

$\int (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 2.3

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int (- u + 1) (- \frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int (- u + 1) (\frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \int (- u + 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- \int - u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 5.2

$- u$ と $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 5.3

負をくくり出します。

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 5.4

$u$ を $1$ 乗します。

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 5.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 5.7

公分母の分子をまとめます。

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 5.8

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 5.9

$\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$- (\int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- (- \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

ステップ 11

$\frac{2}{5}$ と $u^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 13

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{2}{3}$ と $u^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$

ステップ 14.2

簡約します。

$- (- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$- (- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

ステップ 16

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$- (- \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

各項を簡約します。

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ステップ 17.1.1

${(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

ステップ 17.1.2

$\frac{1}{3}$ と ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

ステップ 17.2

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

ステップ 17.3

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

ステップ 17.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 17.4.1

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

ステップ 17.4.2

$5$ に $3$ をかけます。

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

ステップ 17.4.3

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5}) + C$

ステップ 17.4.4

$3$ に $5$ をかけます。

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15}) + C$

ステップ 17.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3 + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

ステップ 17.6

分子を簡約します。

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ステップ 17.6.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

ステップ 17.6.2

$5$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

ステップ 17.7

$- 1$ を $- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

ステップ 17.8

$- 1$ を $5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

ステップ 17.9

$- 1$ を $- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ で因数分解します。

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

ステップ 17.10

$- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ を $- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ に書き換えます。

$- \frac{- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

ステップ 17.11

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

ステップ 17.12

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

ステップ 17.13

$\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

ステップ 18

項を並べ替えます。

$\frac{1}{15} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

微分積分 例

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