微分積分例

$\int \frac{x^{2} - 3}{{(x + 1)}^{3}} d x$

ステップ 1

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3}{u^{3}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$u^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) {(u^{3})}^{- 1} d u$

ステップ 2.2

${(u^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{3 \cdot - 1} d u$

ステップ 2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3} d u$

ステップ 3

$({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3}$ を展開します。

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ステップ 3.1

${(u - 1)}^{2}$ を $(u - 1) (u - 1)$ に書き換えます。

$\int ((u - 1) (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 - 3) u^{- 3} d u$

ステップ 3.5

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.7

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.8

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.9

$u$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.10

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.11

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + 1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{2} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{2 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.15

$2$ から $3$ を引きます。

$\int u^{- 1} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.16

負をくくり出します。

$\int u^{- 1} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.17

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{- 1} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{- 1} - u^{1 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.19

$1$ から $3$ を引きます。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.20

負をくくり出します。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.21

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{1 - 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.23

$1$ から $3$ を引きます。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.24

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.25

$u^{- 3}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.26

$- u^{- 2}$ から $u^{- 2}$ を引きます。

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

ステップ 3.27

$u^{- 3}$ から $3 u^{- 3}$ を引きます。

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} - 2 u^{- 3} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{- 1} d u + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

ステップ 5

$u^{- 1}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

ステップ 6

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| u |) + C - 2 \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 3} d u$

ステップ 8

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 3} d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{- 3}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ です。

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

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ステップ 10.1.1

$u^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

ステップ 10.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

ステップ 10.2

簡約します。

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

ステップ 10.3

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$ を $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$ に書き換えます。

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$

ステップ 10.4

簡約します。

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ステップ 10.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - - \frac{1}{u^{2}} + C$

ステップ 10.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + 1 \frac{1}{u^{2}} + C$

ステップ 10.4.3

$\frac{1}{u^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\ln (| x + 1 |) + \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + C$

微分積分 例

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