微分積分例

$\int (x + 1) \sqrt{2 x + x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = 2 x + x^{2}$ とします。次に $d u = (2 x + 2) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + x^{2}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 + 2 x$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$2 x + 2$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ を $\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $2 x + x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(2 x + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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