微分積分例

$\int x^{2} \sqrt{2 + x} d x$

ステップ 1

$u_{1} = 2 + x$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u_{1} = 2 + x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(u_{1} - 2)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {(u_{1} - 2)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 3

$u_{2} = u_{1} - 2$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u_{2} = u_{1} - 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$u_{1} - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $u_{1} - 2$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

ステップ 3.1.4

$- 2$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

ステップ 4

$u_{3} = u_{2} + 2$ とします。次に $d u_{3} = d u_{2}$ 。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u_{3} = u_{2} + 2$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$u_{2} + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} + 2]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $u_{2} + 2$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$ です。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

ステップ 4.1.4

$2$ は $u_{2}$ について定数なので、 $u_{2}$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(u_{3} - 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

${(u_{3} - 2)}^{2}$ を $(u_{3} - 2) (u_{3} - 2)$ に書き換えます。

$\int (u_{3} - 2) (u_{3} - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\int (u_{3} (u_{3} - 2) - 2 (u_{3} - 2)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 2 - 2 (u_{3} - 2)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 2 - 2 u_{3} - 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.5

分配則を当てはめます。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 2 u_{3} - 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.6

分配則を当てはめます。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 2 u_{3} - 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.7

分配則を当てはめます。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.8

$u_{3}$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.9

$u_{3}$ を $1$ 乗します。

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.10

$u_{3}$ を $1$ 乗します。

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.14

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.15

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.16

公分母の分子をまとめます。

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.17

分子を簡約します。

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ステップ 5.17.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.17.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.18

$u_{3}$ を $1$ 乗します。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.20

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.21

公分母の分子をまとめます。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.22

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.23

$u_{3}$ を $1$ 乗します。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.24

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.25

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.26

公分母の分子をまとめます。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.27

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.28

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.29

$- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ から $2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ を引きます。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.30

$- 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ と $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 5.31

${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ と $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$\int 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 7

$4$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 8

べき乗則では、 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ です。

$4 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 9

べき乗則では、 ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ です。

$4 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 10

$\frac{2}{3}$ と ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 11

$- 4$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C - 4 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 12

べき乗則では、 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ です。

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C - 4 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{2}{5}$ と ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C - 4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

ステップ 13.2

簡約します。

$\frac{8 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} - 4 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} - 4 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$- 4$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 15.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{- 8}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 15.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 16.1

$u_{3}$ のすべての発生を $u_{2} + 2$ で置き換えます。

$\frac{8}{3} {(u_{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {(u_{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(u_{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $u_{1} - 2$ で置き換えます。

$\frac{8}{3} {(u_{1} - 2 + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {(u_{1} - 2 + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(u_{1} - 2 + 2)}^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 16.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 + x$ で置き換えます。

$\frac{8}{3} {(2 + x - 2 + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {(2 + x - 2 + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(2 + x - 2 + 2)}^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例