微分積分例

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} + 4} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 4$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {\sqrt{u - 4}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

簡約します。

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ステップ 2.1.1

${\sqrt{u - 4}}^{2}$ を $u - 4$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u - 4}$ を ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\int {(u - 4)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.1.5

簡約します。

$\int (u - 4) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{u}$ をまとめます。

$\int (u - 4) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int (u - 4) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.2

$u$ と $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.3

$u$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.7

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.8

$- 4$ と $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 4 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ を $- 4 u^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2} d u$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} d u$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} d u$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 u^{\frac{1}{2}}}{1} d u$

ステップ 4.2.4

$- 2 u^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 8

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ を $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

$- 2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.3.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} {(x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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