微分積分例

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$t$ が $- \infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

ステップ 3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ です。

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{4}$ と $\arctan (\frac{x}{4})$ をまとめます。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ および $t$ で $\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ の値を求めます。

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

ステップ 5.2.2

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

ステップ 5.2.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

公分母を利用して分数をまとめます。

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ステップ 6.1.1

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

ステップ 6.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

ステップ 6.1.2.2

$0$ から $\arctan (\frac{t}{4})$ を引きます。

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

ステップ 6.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

ステップ 6.2

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

ステップ 6.3

$\frac{1}{4}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

ステップ 6.4

首位係数が正である奇数次数の多項式の負の無限大における極限は負の無限大です。

$- \frac{1}{4} - \infty$

ステップ 6.5

$lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ なので、 $t$ を $\frac{t}{4}$ に代入し、 $t$ が $- \infty$ に近づくようにします。

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

ステップ 6.6

$t$ が $- \infty$ に近づくときの極限は $- \frac{π}{2}$ です。

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

ステップ 6.7

答えを簡約します。

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ステップ 6.7.1

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.7.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

ステップ 6.7.1.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 6.7.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.7.2.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

ステップ 6.7.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{8}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{8}$

10進法形式：

$0.39269908 \dots$

微分積分 例

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