微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

ステップ 1

$u = \frac{2 x}{3}$ とします。次に $d u = \frac{2}{3} d x$ すると、 $\frac{3}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{2 x}{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{2 x}{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{3}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 1.2

$u = \frac{2 x}{3}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1

$3$ を $2 \cdot 0$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

ステップ 1.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

ステップ 1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

ステップ 1.3.1.2.4

$2 \cdot 0$ を $1$ で割ります。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 1.3.2

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = \frac{2 x}{3}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ と $\frac{π}{2}$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

ステップ 1.5.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 π}{2}$ を約分します。

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ステップ 1.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

ステップ 1.5.2.1.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

ステップ 1.5.2.2

$π$ を $1$ で割ります。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{2}{3}$ で割ります。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

ステップ 2.2

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

ステップ 2.3

$\cos (u)$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

ステップ 2.4

$3$ を $\cos (u)$ の左に移動させます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{3}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

ステップ 4

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{π}{3}$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{3}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0))$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

ステップ 5.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

ステップ 5.2.4

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2.5

$\frac{3}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

10進法形式：

$1.29903810 \dots$

微分積分 例

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