微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

ステップ 1

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 1.2

$u = \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

ステップ 2

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ および $1$ で $\frac{1}{4} u^{4}$ の値を求めます。

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{4}$ を $4^{- 1}$ に書き換えます。

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.5

$\frac{1}{2}$ を $2^{- 1}$ に書き換えます。

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.6

$2$ を $1$ 乗します。

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.9

${(2^{- 1})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.9.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.11

$- 2$ から $4$ を引きます。

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.2.13

$2$ を $6$ 乗します。

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

ステップ 4.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

ステップ 4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.1

$- \frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

ステップ 4.4.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $64$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.4.2.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

ステップ 4.4.2.2

$4$ に $16$ をかけます。

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

ステップ 4.4.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1 - 16}{64}$

ステップ 4.4.4

$1$ から $16$ を引きます。

$- \frac{- 15}{64}$

ステップ 4.4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{15}{64}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{15}{64})$

ステップ 4.5.2

$\frac{15}{64}$ に $1$ をかけます。

$\frac{15}{64}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{15}{64}$

10進法形式：

$0.234375$

微分積分 例

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