微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

ステップ 1

$u = \cos (t)$ とします。次に $d u = - \sin (t) d t$ すると、 $- d u = \sin (t) d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \cos (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

ステップ 1.1.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$- \sin (t)$

ステップ 1.2

$u = \cos (t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = \cos (t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{- 2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- (- u^{- 1}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

ステップ 6

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ および $1$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$- ((- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 7

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1^{- 1})$

ステップ 8

1のすべての数の累乗は1です。

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

10進法形式：

$0.41421356 \dots$

微分積分 例

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