微分積分例

$\int_{- 1}^{1} x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = {(- 1)}^{2} + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = 1 + 1$

ステップ 1.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 1.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{2} u^{3} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$u^{3}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{2}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{2}^{2} u^{3} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{2}^{2}$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ および $2$ で $\frac{1}{4} u^{4}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.2

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\frac{1}{4}$ と $16$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.3.2

$16$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.3.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

ステップ 5.4

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 16)$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (4 - 16 (\frac{1}{4}))$

ステップ 5.5.2

$- 16$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (4 + \frac{- 16}{4})$

ステップ 5.5.3

$- 16$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4})$

ステップ 5.5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)})$

ステップ 5.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1})$

ステップ 5.5.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (4 + \frac{- 4}{1})$

ステップ 5.5.3.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (4 - 4)$

ステップ 5.6

式を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 5.6.2

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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