微分積分例

$\int \frac{- 20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

ステップ 4

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $20$ を積分の外に移動させます。

$- (20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x)$

ステップ 5

$20$ に $- 1$ をかけます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

ステップ 6

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t)$ とします。次に $d x = \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ は正であることに注意します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$\frac{5}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

$\frac{5}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.2.2

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.2.3

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.2.6

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.2.6.5

指数を求めます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.3

$\frac{5 \sqrt{7}}{7}$ と $\sin (t)$ をまとめます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7})}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.4.1

積の法則を $\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7}$ に当てはめます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7} \sin (t))}^{2}}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.4.2

積の法則を $5 \sqrt{7} \sin (t)$ に当てはめます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.4.3

積の法則を $5 \sqrt{7}$ に当てはめます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{5^{2} {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.5.1

$5$ を $2$ 乗します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.5.2

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.5.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.5.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.5.2.4.1

共通因数を約分します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.5.2.4.2

式を書き換えます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{1} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.5.2.5

指数を求めます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.5.3

$25$ に $7$ をかけます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.6

$7$ を $2$ 乗します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.7

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.7.1

$7$ を $- 7$ で因数分解します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 (- 1) \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.7.2

$7$ を $49$ で因数分解します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.7.3

共通因数を約分します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.7.4

式を書き換えます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.8

$175$ と $7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.8.1

$7$ を $175 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.8.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 (1)}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 \cdot 1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.8.2.3

式を書き換えます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{25 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.8.2.4

$25 \sin^{2} (t)$ を $1$ で割ります。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 (25 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.1.9

$25$ に $- 1$ をかけます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.2

$25$ を $25$ で因数分解します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.3

$25$ を $- 25 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.4

$25$ を $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.6

$25 \cos^{2} (t)$ を ${(5 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- 20 \int \frac{1}{5 \cos (t)} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{1}{5 \cos (t)}$ に $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ をかけます。

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{5 \cos (t) \cdot 7} d t$

ステップ 7.2.2

$7$ に $5$ をかけます。

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{35 \cos (t)} d t$

ステップ 7.2.3

$5$ と $35$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$5$ を $5 \sqrt{7} \cos (t)$ で因数分解します。

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{35 \cos (t)} d t$

ステップ 7.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

$5$ を $35 \cos (t)$ で因数分解します。

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

ステップ 7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

ステップ 7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

ステップ 7.2.4

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

共通因数を約分します。

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

ステップ 7.2.4.2

式を書き換えます。

$- 20 \int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$ を $- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$ に書き換えます。

$- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- 20$ と $\frac{\sqrt{7}}{7}$ をまとめます。

$\frac{- 20 \sqrt{7}}{7} t + C$

ステップ 9.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} t + C$

ステップ 9.3

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5})$ で置き換えます。

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5}) + C$

ステップ 9.4

項を並べ替えます。

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{5} x) + C$

微分積分 例

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